„Ludzie twierdzą, że matematyka jest trudna bo nie wiedzą, jak skomplikowane jest życie.”
Parafraza powiedzenia Johna von Neumanna.
Dobry Pan Bóg każdego z nas wyposażył w intuicję matematyczną i pewne matematyczne umiejętności.
Jeżeli, na przykład, mama lub tata poprosi małe dziecko, które nie potrafi jeszcze liczyć, o przygotowanie talerzy np. do śniadania, to na stole znajdzie się talerz dla każdego, wg reguły „ten talerz dla mamy, ten dla taty, ten dla Marysi, ten dla … i ten dla mnie”. Nie potrafiąc liczyć, dziecko doskonale wykonało zadanie. Dlaczego tak się stało? Ponieważ posłużyło się ono czymś naturalnym, co dopiero w jego późniejszej edukacji szkolnej zostanie nazwane i dokładniej opisane, czyli odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Podobnie, jeżeli z jednego rogu prostokątnego trawnika, otoczonego ścieżką, kopnie ono piłkę tak, że dotoczy się ona na ścieżkę, w okolicach przeciwległego rogu trawnika, to pobiegnie ono po piłkę prosto do niej. Dlaczego tak się stanie? Bo jest to naturalny odruch – najszybciej dotrze do piłki. Dopiero w trakcie późniejszej edukacji ten fakt, że najkrótsza droga na płaszczyźnie biegnie po prostej, zostanie nazwany i opisany. Dopiero później to dziecko dowie się o nierówności trójkąta, czy o twierdzeniu Pitagorasa.
Każdy z nas zdaje sobie sprawę z tego, że gdyby np. PIN do karty kredytowej miał więcej niż 4 znaki, to byłoby to lepsze jej zabezpieczenie, niż w przypadku tychże 4 znaków, choć już nie każdy potrafiłby policzyć, o ile takie zabezpeczenie byłoby lepsze.
Przy okazji, ciekawe ilu z nas zastanawiało się, dlaczego PIN’y do produktów powszechnych są akurat czteroznakowe, a nie np. pięcioznakowe.
Nasza zabawa matematyczna skierowana jest do uczestników każdego poziomu edukacyjnego, od przedszkola po klasy maturalne, choć wcale nie oznacza to, że jest to zabawa łatwa.
Proces szkolnej edukacji matematycznej jest ściśle zaprogramowany przez najlepszych ekspertów, którzy wiedzą, od czego powinna się ona zaczynać i w jakiej kolejności przebiegać. Również, z racji oczywistych limitów, zawiera ona tylko ograniczony, określony zakres wiedzy matematycznej.
Daleko posuniętą naiwnością byłoby więc mniemanie, że cała wiedza matematyczna, możliwa do przyjęcia przez ucznia określonego poziomu edukacyjnego, jest tylko „w szkole”. Po pierwsze, oczywistym przykładem jest fakt uczenia w szkole kilka lub kilkanaście lat temu takich rzeczy, o których dzisiaj się nie wspomina. Są obecnie „poza szkołą”, co nie oznacza, że nie można o nich mówić uczniom. Po drugie, cały otaczający nas świat jest pełen przepięknej matematyki (najczęściej służącej nam pokornie), którą widać np. w wycieraczkach samochodowych czy podczas kupowania mebli, wymieniając tylko bardzo proste jej przejawy. Jest to źródło matematyki dostępnej każdemu uczniowi, którego bogactwa raczej nie sposób porównać z materiałem dostępnym w szkole (natomiast zupełnie inną kwestią jest to, czy potrafimy to dostrzegać). Żadnego porównania natomiast nawet nie ma co próbować robić, gdy pomyślimy o matematyce nieco bardziej zaawansowanej, niedostępnej dla większości uczniów, ukrytej w otaczającym nas świecie. I tą częścią matematyki nie zajmujemy się w naszej zabawie.
Dlaczego więc zadania naszej zabawy mogą być trudne?
Ponieważ problem np. typu „jak kupić wykładzinę do pokoju” nie pyta, w jakim jesteśmy wieku i jakie rzeczy z matematyki już znamy. Tak jak w życiu. Dla jednych będzie on prosty, a dla innych trudny, co nie znaczy, że nie do rozwiązania dla obu.
Dlaczego nasza zabawa dostępna jest uczniom wszystkich poziomów edukacyjnych?
Po pierwsze, zadania pretekstowe mają bardzo różne stopnie trudności, a więc na pewno każdy jest w stanie rozwiązać ich co najmniej kilka lub kilkanaście, spośród kilkudziesięciu podanych do wyboru.
Po drugie, nawet trudne zadania (poza tymi, które ułatwiają nam wybór, ponieważ już ich sformułowania wskazują, że nie są to zadania dla nas, a więc nie zabieramy się za nie) dają się rozwiązywać na bardzo różnym poziomie edukacyjnym. Każdy z nas ma, wspomnianą wyżej, intuicję matematyczną i tylko od tego, czy naprawdę chce rozwiązać dany problem zależy, czy rzeczywiście znajdzie odpowiedź. Oczywiście, jednym może to zająć kilka minut a innym kilka godzin (właśnie dlatego na rozwiązywanie zadań I etapu Konkursu preznaczamy bardzo dużo czasu – kilkadziesiąt dni).
Pięknym przykładem takiego problemu jest zagadnienie „skaczących żabek”. Zabawę tę pokazał mi dawno temu David Cain, na jednej z krajowych konferencji Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki. Służy ona ćwiczeniu umiejętności matematycznych w odkrywaniu zależności i reguł oraz może być matematycznym pretekstem wyprowadzającym uczniów w pole … ciągów liczbowych. Wykorzystywałem ją wielokrotnie. Jedną z takich sytuacji była lekcja wprowadzająca ciągi w liceum. W czasie jednej godziny lekcyjnej poskakaliśmy jak żabki, odkryliśmy regułę pozwalającą na opisanie najmniejszej liczby żabich skoków dla określonej liczby żab oraz sformalizowaliśmy to. Dokładnie to samo zagadnienie miało miejsce również w … przedszkolu. Pobawiliśmy się żabimi skokami i odkryliśmy regułę pozwalającą na podanie najmniejszej liczby żabich skoków dla kolejnej liczby skaczących żab. Tyle, że w przedszkolu potrzeba na to nie 45 minut, jak w liceum, tylko 3-4 spotkania po 30 minut, liczydło i sporo klocków.
To nie jedynie teoria, a praktyka – takie zajęcia prowadzę w ramach mojej Akademii Umiejętności Matematycznych.
Jak się więc okazuje, zagadnienia pozornie bardzo trudne można rozwiązywać metodami elementarnymi, dostępnymi nawet przedszkolakom, jeżeli tylko chce się to zrobić.
Uważam, że każdy uczeń powinien próbować rozwiązywać zadania pretekstowe, choćby z tego powodu, że są nieszablonowe i często wymagają myślenia nieschematycznego. Wiem również, że odpowiedni zmysł i intuicję matematyczną mają wszyscy, także uczniowie, którzy w szkole nie są zbyt wysoko oceniani.
Wielokrotnie przekonywałem się lub słyszałem o tym, że uczniowie, którzy nie mają najlepszych ocen szkolnych, łatwiej, szybciej, „sprytniej” rozwiązywali nietypowe problemy, niż uczniowie z najlepszymi ocenami. Stąd ich wsparcie konkursowe w postaci punktów startowych, bo tak ważne jest, aby z takimi zadaniami mierzyli się wszyscy uczniowie.
Nasz system internetowej rejestracji uczestników oraz przesyłania odpowiedzi do zadań I etapu nie weryfikuje wpisów i nie poprawia błędów użytkowników, tak jak to robią systemy bankowe, e-sklepy itp. To prawda, że nie ułatwiamy zadania, ale tak, jak w życiu, rzadko kiedy ktoś będzie korygował nasze błędy – uczmy się więc tego już teraz. Poza tym, matematyka wymaga precyzji. Jedną z ważnych matematycznych umiejętności jest umiejętność czytania poleceń i instrukcji oraz udzielania dokładnych odpowiedzi na zadane pytania. Ta umiejętność przydaje się przecież w całym życiu.
Każdy uczestnik naszej zabawy odpowiada na tyle pytań, na ile jest w stanie udzielić odpowiedzi.
Mogą być dwa podejścia do tej sytuacji. Jedno z nich to spojrzenie osób, którzy widzą w tym tylko utrudnienie lub, w przypadku rozwiązania tylko części spośród wszystkich zadań, brak potwierdzenia swoich szkolnych ocen – generalnie jako sytucję złą lub swoją porażkę. Takie podejście dziwi w kontekście konkursu, dla którego pretekstami do uprawiania matematyki jest … życie, z wszystkimi tego konsekwencjami, o których pisałem wyżej.
Inne podejście do tej sytuacji, którego jestem zdecydowanym zwolennikiem, to pokora (a więc prawda o sobie) i najlepsza motywacja do dalszego rozwoju matematycznego. Jeżeli spośród kilkudziesięciu nieszablonowych, innych niż często spotykane w szkole, zadań, o których wiem, że są wśród nich także zadania bardzo trudne, jestem w stanie rozwiązać np. 8 zadań, to cieszę się, że rozwiązałem ich właśnie 8, a nie np. tylko 6 lub 7. Po drugie, prawda jest taka, że życie dostarcza dużo, o wiele trudniejszych niż szkolne, problemów do rozwiązania, więc mam przed sobą jeszcze bardzo wiele do zrobienia. Muszę się więc pilnie uczyć, żeby te problemy móc jak najszybciej rozwiązywać. Poza tym, reszta zadań jest dla mnie nadal wyzwaniem. Nie potarfiłem ich rozwiązać teraz, ale może spróbować myśleć inaczej niż dotychczas, albo zainteresować się, czego muszę się jeszcze dowiedzieć, aby te zadania wkrótce rozwiązać. Jeżeli tak będziemy podchodzili do zadań naszej zabawy, to zamiast poczucia porażki, uzyskamy najlepszą motywację do dalszego rozwoju matematycznego uczestnika Konkursu.
Wiem, że nie jest to łatwe, ale wszelkie zmiany zaczynają się od zmian sposobu myślenia. Możemy podejmować próby takich zmian, albo zdecydować się na klęskę.
I jeszcze ostatnia, być może najważniejsza, uwaga dotycząca naszej zabawy.
Wspomniane wyżej, takie widzenie matematyki, którą może bawić się każdy uczeń, które ogranicza ją tylko do materiału omawianego w szkole, prowadzi do poglądu, że jest ona często (choć na szczęście nie zawsze) … smutna i nieciekawa. A przecież matematyka (jak zresztą edukacja w ogóle) to wspaniała przygoda, pełna ciekawych rzeczy i bardzo emocjonująca. Jestem zdecydowanym zwolennikiem właśnie takiego podejścia do naszej zabawy. Stając się uczestnikiem Konkursu Matematyczne Preteksty, zdecyduj się na wspaniałą przygodę z matematyką i jej odkrywanie w znanych sytuacjach; daj się zaskoczyć pytaniami i potraktuj je jako osobiste wyzwania; przygotuj się na prawdę o sobie i zobacz, jak wielu ciekawych rzeczy jeszcze nie wiesz, a więc ile ścieżek staje przed Tobą otworem. A przede wszystkim – baw się dobrze matematyką.
Pozdrawiam serdecznie,
Marek Matejuk